Balázs Péter művészcsaládból származott: édesanyja Balázsné Mednyánszky Henriette balettművész, édesapja Balázs János színész, rendező, nagynénje-keresztanyja Mednyánszky Ági színművésznő volt. Bár édesapja építészmérnöknek szánta, végül ő is a színészi pályát választotta, amelyet Kossuth- és Jászai Mari-díjjal méltányoltak, korábban Karinthy-gyűrűvel is kitüntették.
1965-ben végzett a Színház- és Filmművészeti Főiskolán. Pályája a veszprémi Petőfi Színházban kezdődött, majd 1970-ben a budapesti Vígszínházban folytatódott, ahol 1989-ben rendezőként is bemutatkozott. 1995-től szabadfoglalkozású színész. Főleg komikus szerepeiről ismert, több filmben is játszott (Pókfoci, Égigérő fű, Szeleburdi család, Hyppolit) és népszerű szinkronszínész (Vizipók csodapók, Hófehér, Macskafogó 2) volt. 2007-ben a Szolnoki Szigligeti Színház igazgatója lett, amely tisztséget 2021-ig töltötte be.
A színház saját halottjának tekinti a volt igazgatót. „A társulat, a város, a közönség és mindazok, akik szerették — gyászoljuk, és örökké hálásak vagyunk neki és mindig emlékezni fogunk Rá! Munkád, lelked és szereteted tovább él a színpadon, a nézők tapsában és a színházunk falai között. Ezt megígérjük Neked!” - írják a posztban.
